高考总复习

概率统计 · 数列不等式

分布列与数字特征、等差等比、基本不等式与恒成立。

这一块要会什么

小题常考分布列与期望；大题常见「递推 → 通项 → 求和」或基本不等式取等。概率先分清古典 / 条件 / 二项。各年模块权重浮动大，分值待统计。

通法

  • 概率答题顺序

    何时用：古典概型、条件概率、分布列、期望

    1. 明确试验与样本空间
    2. 分清独立 / 互斥
    3. 列分布列 → 期望方差；条件概率写清条件

    易错：二项 n,pn,p 代错；期望公式用成方差。

  • 数列通项与求和

    何时用：递推求通项、求和、错位相减 / 裂项

    1. 等差看 dd，等比看 qq
    2. 非等比：构造、Sn+1−SnS_{n+1}-S_n、错位相减、裂项
    3. 先猜通项再严格证明

    易错：等比求和漏 q=1q=1。

  • 基本不等式

    何时用：最值、恒成立、一正二定三相等

    1. 检查正数条件
    2. 一正二定三相等
    3. 求参范围时分离参数再求最值

    易错：取等条件不检验。

典例

已知正数 x,yx,y 满足 x+y=4x+y=4，求 xyxy 的最大值（用基本不等式）。

  1. 由 x+y2≥xy\dfrac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}，得 xy≤4xy\le 4。
  2. 当且仅当 x=y=2x=y=2 时取等，故最大值为 44。
  3. 也可设 y=4−xy=4-x，f(x)=x(4−x)f(x)=x(4-x)，顶点处 f=4f=4。

收束：和定积最大；写清取等条件。

要点清单

  • 概率 · 分布列

    题面信号：概率、分布列、期望、条件概率

    先分清模型，再列分布求期望。

  • 等差 · 等比

    题面信号：通项、求和、递推

    通项与求和；错位相减、裂项是常客。

  • 基本不等式 · 恒成立

    题面信号：最值、恒成立、取等

    一正二定三相等；分离参数看最值。

专题巩固

本专题公式

需要翻公式时 → 高中公式速查

数泡泡 - 看见数学成长 | 每天进步一点点