高考总复习

立体几何

位置关系与空间向量——建系、法向量、二面角。

这一块要会什么

高考两条路：综合法（平行垂直判定）与向量法（建系求角距离）。大题常「先证后算」；二面角优先看法向量夹角。分值相对稳定，精确数字待卷面统计。

通法

  • 先证后算

    何时用：解答题前问证明平行/垂直，后问角或距离

    1. 证明用判定定理（线面、面面）
    2. 写全「因为…所以…」
    3. 计算角与距离再上坐标或向量

    易错：证明跳步；未证先用垂直结论。

  • 建系三板斧

    何时用：求线面角、二面角、点面距离

    1. 选两两垂直的棱为轴
    2. 写出关键点坐标
    3. 法向量数量积求角（注意锐钝与题意一致）

    易错：原点选错导致坐标全错；法向量夹角与二面角补角搞反。

  • 体积与截面

    何时用：求体积、截面形状、等体积转化

    1. 明确底与高对应
    2. 等体积法或补形
    3. 截面先定交线再定形状

    易错：高不垂直于所取底面。

典例

正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，求平面 AB1D1AB_1D_1 与平面 ABCABC 所成二面角的余弦值（思路）。

  1. 建系：以 AA 为原点，AB,AD,AA1AB,AD,AA_1 为轴，棱长为 11。
  2. 平面 ABCABC 法向量可取 n⃗1=(0,0,1)\vec n_1=(0,0,1)；平面 AB1D1AB_1D_1 内两向量叉积得 n⃗2\vec n_2。
  3. cos⁡θ=∣n⃗1⋅n⃗2∣∣n⃗1∣∣n⃗2∣\cos\theta=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}，再对照图形定锐钝。

收束：二面角 = 两法向量夹角（或补角）；算完对照图形定锐钝。

要点清单

  • 线面位置关系

    题面信号：证明平行 / 垂直、补形、截面

    判定定理写全；再谈计算。

  • 空间向量建系

    题面信号：建系、数量积、距离

    基底 → 坐标 → 数量积求角与距离。

  • 二面角 · 法向量

    题面信号：二面角、平面角、法向量

    两法向量夹角或其补角即二面角。

专题巩固

本专题公式

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